تفاصيل نظرية ريمان

تعتبر فرضية ريمان أشهر مسألة مفتوحة في الرياضيات البحتة لحد الآن، طرحها لأول مرة برنارد ريمان عام 1859 ومضى لها منذ ذلك اليوم حوالي 150 سنة، الفرضية متعلقة بتوزيع أصفار دالة^{[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]} ريمان زيتا Riemann - Zeta Function .
أهمية هذه الفرضية تنبع من العدد الكبير للنتائج المترتبة عليها خصوصاً في [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] ، و كانت ضمن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] الثلاثة والعشرين التي طرحها عام 1900 ، ولقد رصد معهد كلاي الرياضي عام 2000 مبلغ مليون دولار لأول إثبات صحيح لها .

تعريف دالة ريمان زيتا

تعرف دالة ريمان زيتا لكل عدد مركب s جزئه الحقيقي أكبر من 1 بالشكل :
المتسلسلة تتقارب^{[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]} عندما ، ولتوسيع هذه الدالة لتشمل كل المستوى المركب ( ما عدا s=1 ) ، أثبت ريمان العلاقة التالية واستخدمها في ذلك :
بضم العلاقتين ينتج لدينا دالة معرفة لكل عدد مركب ، اما عند s=1 فهناك قطب بسيط simple pole
نص الفرضية
فكر ريمان في إيجاد النقاط التي تنعدم فيها دالته . يمكن الملاحظة من العلاقة الثانية أن الداالة تنعدم عند العدد السالبة الزوجية ( مثل ) ، وذلك واضح لأن تنعدم عند هذه النقاط .
تسمى الأصفار السابقة بالأصفار البدهية trivial zeros
فرضية ريمان تعنى بالأصفار غير البدهية ، حيث تنص :

أي أن الفرضية تقول أن جميع الأصفار غير البدهية تقع على الخط


الشكل التالي يوضح الرسم القطبي للدالة على الخط ، حيث تبدو الأصفار الخمسة الأولى واضحة في الرسم :

نتائج مترتبة
تمكن العلاقة بين فرضية ريمان ونظرية الأعداد في الصيغة التالية التي أثبتها أويلر :
حيث p عدد أولي .


كلما فهمنا سلوك دالة ريمان زيتا أكثر ، فإننا سوف نفهم توزيع الأعداد الأولية . وفرضية ريمان إذا صحت ، فإنها تشير إلى أن الأعداد الأولية موزعة بدرجة من التنظيم على الرغم من مظهرها العشوائي .
إن أهم نتيجة^{[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]} تم إثباتها في مجال فرضية ريمان ، وهي أن الأصفار غير البدهية تقع في الشريحة وقد أثبتها هادمارد ، قد استخدمت في إثبات مبرهنة^{[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]} العدد الأولي ، والتي تنص على أن :
حيث أن هي عبارة عن عدد الأعداد الأولية التي أقل من أو تساوي n ، والرمز ~ يعنيأنه متحاذيان asymptotic

لقد أثبت كوخ عام 1901 أن فرضية ريمان تكافئ وجود ثابت c بحيث :